Действительно, спомощью аннотации @Test можно проверить только тип исключения. Чтобы проверить сообщение, придется обернуть выбрасывающий исключение код в блок try и в блоке catch выполнить проверку:

@Test
public void validate_personNotAssigned_shouldThrowException() {
    // ...
    try {
        project.validate();
    } catch (Exception e) {
        assertEquals("Expected exception message",
            e.getMessage());
        return;
    }
    fail("Expected validation exception was not thrown");
}